Opcje amerykańskie na drzewku dwumianowym

Opcja amerykańska daje jej posiadaczowi prawo do realizacji opcji w dowolnej chwili przed wygaśnięciem. Załóżmy, że mamy amerykańską opcję sprzedaży (american put) o terminie wygaśnięcia T. Zatem możemy ją zrealizować w dowolnej chwili . W jaki sposób wycenić taki kontrakt przy użyciu drzewka dwumianowego? Bardzo prosto…

Z matematycznego punktu widzenia musimy być ostrożni przy interpretacji czasu realizacji t. Gdybyśmy przyjęli strategię: realizuj opcję wtedy, gdy cena akcji osiągnie maksimum na [0,T]. Taka strategia nie ma sensu, gdyż nie możemy wiedzieć czy cena już osiągnęła swoje maksimum czy też dopiero osiągnie. Dlatego decyzję o realizacji musimy podejmować na podstawie informacji dostępnej w momencie realizacji. Zatem czas realizacji musi być momentem zatrzymania (czasami też nazywany momentem Markowa).

Wycena opcji na drzewku dwumianowym jest dosyć prosta. Przyjmujemy, że stała stopa procentowa jest równa r. Odcinek czasu [0,T] dzielimy na N równych części dt=T/N. Po drzewku przesuwamy się w prawo. Za każdym krokiem cena S może wzrosnąć prawdopodobieństwem p do ceny Su lub spaść z prawdopodobieństwem (1-p) do ceny Sd. Węzły drzewka oznaczamy (i,j).

Weźmy ostatnie węzły drzewka o N krokach tzn. (i,N) w których cena akcji wynosi . Wtedy cena amerykańskiej opcji sprzedaży o cenie realizacji K wynosi dla każdego węzła

Cofnijmy się o jeden krok w tył do węzłów (i,N-1). Tutaj już mamy możliwość zdecydowania czy chcemy realizować opcję czy też czekamy dalej. Jeśli wówczas nie realizujemy opcji, gdyż nic na tym nie zyskamy. W przeciwnym razie możemy zrealizować opcję zarabiając lub też czekać z nadzieją że w przyszłości osiągniemy większy zysk z realizacji opcji. W ogólności tego typu problemy nie są łatwe do rozwiązania, lecz w naszym przypadku jest to proste.

Porównujemy ze sobą zysk, który uzyskujemy z natychmiastowej realizacji

z ceną jaką ma opcja jeśli jej nie zrealizujemy

Oczywiście wybieramy maksimum z dwóch powyższych i wtedy

To samo rozumowanie stosujemy do kolejnych węzłów cofając się na drzewku. Wtedy

To właściwie wszystko co jest potrzebne do implementacji takiego sposobu wyceny. Zaczynamy od ostatnich węzłów drzewa(nie wiem jak finansista, ale informatyk nazwałby je liściami) i rekurencyjnie przechodzą do początku drzewa (korzenia) wyliczamy cenę naszej opcji.

Zanim podam przykładowy sposób implementacji, kilka uwag.

Zajmowaliśmy się opcją sprzedaży. Amerykańska opcja kupna jest mało interesująca( a może właśnie dlatego jest interesująca) z tego względu, że możliwość wcześniejszej realizacji nie wnosi nic do jej ceny. Innymi słowy amerykańska opcja kupna ma taką samą cenę jak opcja europejska z tymi samymi parametrami.

Pokazałem tutaj tylko sposób wyceny, przy uzasadnieniu tej metody machałem jednak rękami. Uzasadnienie, że jest to dobry sposób wyceny nie jest tak banalne, ale na razie to musi nam wystarczyć.

Na koniec kod Matlab.

function price = AmPutBin(S0,K,r,T,sigma,N)

%wyliczenie stałych wartości
dt = T/N;
u=exp(sigma * sqrt(dt));
d=1/u;
p=(exp(r*dt) - d)/(u-d);
discount = exp(-r*dt);
pu = discount*p;
pd = discount*(1-p);

% ustalenie cen S
S = zeros(2*N+1,1);
S(N+1) = S0;
for i=1:N
S(N+1+i) = u*S(N+i);
S(N+1-i) = d*S(N+2-i);
end

% wyliczenie wartości w liściach
f = zeros(2*N+1,1);
for i=1:2:2*N+1
f(i) = max(K-S(i),0);
end

% cofamy się na drzewie
for t=1:N
for i= (t+1):2:(2*N+1-t)
hold = pu*f(i+1) + pd*f(i-1);
f(i) = max(hold, K-S(i));
end
end
price = f(N+1);

Radzę pobawić się trochę. Spróbować dla różnyośćch wartości S0 i dla różnych N. Sprawdzić jak wygląda zbieżność itp.

Co to jet ‘rynek efektywny’?

Często efektywność runku matematycznie kojarzona jest z pojęciami spaceru losowego (ang. random walk) lub nieco ogólniej martyngału. Co to jest? Czy rynek jest efektywny? Jak zapisać to matematycznie? Po kolei…

Efektywny rynek, to taki rynek, w którym informacje dotyczące akcji(nie tylko akcji, ogólnie aktywów) są już uwzględnione w ich cenie. Wszystkie akcje są odpowiednio wycenione przez rynek i nie ma niedowartościowanych czy przewartościowanych akcji.

Każdy wie, że matematycznie historia zdarzeń/informacji jest opisana przez niemalejący ciąg -ciał zwany filtracją. Informację dostępną do czasu t oznaczymy przez filtrację . Jak zapisać postulat efektywnego rynku za pomocą formuły matematycznej?

Jednym ze sposobów jest założenie, że ceny akcji są martyngałami. Czyli, że ceny akcji spełniają

Czytamy to w ten sposób: oczekiwana cena akcji po czasie t+h przy danej informacji do czas t jest równa cenie dzisiejszej. Innymi słowy: nie mamy żadnych przewidywań co do przyszłych ruchów cen. Z drugiej strony jedną z informacji zawartych w cenie jest ryzykowność danego papieru wartościowego. Spodziewamy się, że przyszła średnia wartość papieru bardzie ryzykownego będzie większa od ceny papieru mniej ryzykownego. Należy pamiętać, że jest to tylko średnia wartość, gdyż w takim przypadku zwiększa się możliwość, że poniesiemy duże straty.

W takim wypadku nasza martyngałowa zależność zakłada, że inwestorzy są neutralni względem ryzyka. Co prawdą nie jest. Naturalnym sposobem zapisania koncepcji braku wpływu historii na przyszłość w matematyce jest własność Markowa. Jeśli dla dowolnej nieujemnej funkcji f istnieje funkcja g, taka że

Taka własność “braku pamięci” może odpowiadać słabej formie efektywności rynku czyli takiej, która mówi jedynie o historycznych cenach akcji jako informacji zawartej w dzisiejszej cenie. Istnieją jeszcze dwie inne formy efektywności rynku – mocna (strong) i średnia (semi-strong).

Czy hipoteza efektywnego rynku ma sens?
Paradoksalnie efektywność rynku działa tylko wtedy, gdy ktoś w nią nie wierzy. Dykteryjka: dwóch ekonomistów widzi banknot 100 PLN leżących na chodniku. Jeden z nich schyla się, żeby go podnieść. Na co drugi mówi, żeby się nie wygłupiał, bo gdyby on był prawdziwy, to już ktoś by go wziął.

Historia giełdy pokazuje, że kilka osób schyliło się po ten banknot i zarobiło na tym duże pieniądze. Warren Buffet zarobił miliardy na takim właśnie braku wiary w efektywność rynku inwestując w spółki, które uważał za niedowartościowane przez rynek.

Mimo, iż założenie efektywność rynku nie jest do końca prawdziwe, wystarczająco dużo osób chcąc być następnym Buffetem przyczynia się do poprawiania efektywności rynku.

Skoro z grubsza możemy założyć, że rynek jest efektywny i nie możemy przewidzieć przyszłych cen, to czym w takim razie zajmuje się matematyka? Na pewno nie zajmuje się przepowiadaniem przyszłości. Zadaniem matematyki w finansach jest np. powiązać ze sobą ruchy cen różnych papierów wartościowych lub też używać różnych instrumentów finansowych, których ruchy cen oparte są na tych samych informacjach do tego aby zniwelować losowość.

Dwa naczynia – czyli jak mieszać alkohol z wodą…

Mamy dwa szklane naczynia. Każde z nich zawiera taką samą objętość V płynu. W jednym naczyniu znajduje się woda, a w drugim alkohol absolutny, czyli o 100% stężeniu. Przelewamy pewną ilość G wody do naczynia z alkoholem i dokładnie mieszamy. Następnie tą samą ilość G wymieszanego płynu przelewamy z powrotem do naczynia z wodą.

W ten sposób w dwóch naczyniach otrzymujemy rozcieńczony alkohol. Jaki jest stosunek stężenia alkoholu w naczyniu w wodą do stężenia alkoholu w naczyniu z alkoholem?

Podpowiedź: Zadanie jest łatwe;)

Odpowiedź już wkrótce.